3.239 \(\int \frac{d+e x+f x^2}{(g+h x)^3 (a+b x+c x^2)^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=713 \[ \frac{2 \left (-c x \left (c \left (2 a^2 h^2 (3 f g-e h)-3 a b h \left (-d h^2+e g h+f g^2\right )+b^2 \left (3 d g h^2+f g^3\right )\right )-b h^3 \left (a^2 f-a b e+b^2 d\right )-c^2 g \left (2 a \left (3 d h^2-3 e g h+f g^2\right )+b g (3 d h+e g)\right )+2 c^3 d g^3\right )+b^2 h \left (a^2 f h^2+a c h (3 e g-4 d h)+3 c^2 d g^2\right )-b c \left (3 a^2 h^2 (f g-e h)+a c g \left (-9 d h^2+3 e g h+f g^2\right )+c^2 d g^3\right )-2 a c \left (a^2 f h^3-a c h \left (d h^2-3 e g h+3 f g^2\right )-c^2 g^2 (e g-3 d h)\right )-b^3 h^2 (a e h+3 c d g)+b^4 d h^3\right )}{\left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a h^2-b g h+c g^2\right )^3}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{-2 a h+x (2 c g-b h)+b g}{2 \sqrt{a+b x+c x^2} \sqrt{a h^2-b g h+c g^2}}\right ) \left (h^2 \left (8 a^2 f h^2+4 a b h (2 f g-3 e h)+b^2 \left (-\left (3 h (e g-5 d h)+f g^2\right )\right )\right )-4 c h \left (a h \left (3 d h^2-9 e g h+11 f g^2\right )-b g \left (3 h (e g-4 d h)+2 f g^2\right )\right )+8 c^2 g^2 \left (6 d h^2-3 e g h+f g^2\right )\right )}{8 \left (a h^2-b g h+c g^2\right )^{7/2}}-\frac{h \sqrt{a+b x+c x^2} \left (f g^2-h (e g-d h)\right )}{2 (g+h x)^2 \left (a h^2-b g h+c g^2\right )^2}-\frac{h \sqrt{a+b x+c x^2} \left (2 c g \left (3 f g^2-h (5 e g-7 d h)\right )-h \left (4 a h (2 f g-e h)-b \left (-7 d h^2+3 e g h+f g^2\right )\right )\right )}{4 (g+h x) \left (a h^2-b g h+c g^2\right )^3} \]

[Out]

(2*(b^4*d*h^3 - b^3*h^2*(3*c*d*g + a*e*h) + b^2*h*(3*c^2*d*g^2 + a^2*f*h^2 + a*c*h*(3*e*g - 4*d*h)) - b*c*(c^2
*d*g^3 + 3*a^2*h^2*(f*g - e*h) + a*c*g*(f*g^2 + 3*e*g*h - 9*d*h^2)) - 2*a*c*(a^2*f*h^3 - c^2*g^2*(e*g - 3*d*h)
- a*c*h*(3*f*g^2 - 3*e*g*h + d*h^2)) - c*(2*c^3*d*g^3 - b*(b^2*d - a*b*e + a^2*f)*h^3 - c^2*g*(b*g*(e*g + 3*d
*h) + 2*a*(f*g^2 - 3*e*g*h + 3*d*h^2)) + c*(2*a^2*h^2*(3*f*g - e*h) - 3*a*b*h*(f*g^2 + e*g*h - d*h^2) + b^2*(f
*g^3 + 3*d*g*h^2)))*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^3*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (h*(f*g^2 - h*(e*g -
d*h))*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^2*(g + h*x)^2) - (h*(2*c*g*(3*f*g^2 - h*(5*e*g - 7*d*
h)) - h*(4*a*h*(2*f*g - e*h) - b*(f*g^2 + 3*e*g*h - 7*d*h^2)))*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*(c*g^2 - b*g*h + a*h^
2)^3*(g + h*x)) + ((8*c^2*g^2*(f*g^2 - 3*e*g*h + 6*d*h^2) + h^2*(8*a^2*f*h^2 + 4*a*b*h*(2*f*g - 3*e*h) - b^2*(
f*g^2 + 3*h*(e*g - 5*d*h))) - 4*c*h*(a*h*(11*f*g^2 - 9*e*g*h + 3*d*h^2) - b*g*(2*f*g^2 + 3*h*(e*g - 4*d*h))))*
ArcTanh[(b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*Sqrt[c*g^2 - b*g*h + a*h^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*(c*g^2 - b*
g*h + a*h^2)^(7/2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 2.66961, antiderivative size = 707, normalized size of antiderivative = 0.99, number of steps used = 5, number of rules used = 5, integrand size = 32, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.156, Rules used = {1646, 1650, 806, 724, 206} \[ \frac{2 \left (-c x \left (c \left (2 a^2 h^2 (3 f g-e h)-3 a b h \left (h (e g-d h)+f g^2\right )+b^2 \left (3 d g h^2+f g^3\right )\right )-b h^3 \left (a^2 f-a b e+b^2 d\right )-c^2 g \left (-6 a h (e g-d h)+2 a f g^2+b g (3 d h+e g)\right )+2 c^3 d g^3\right )+b^2 h \left (a^2 f h^2+a c h (3 e g-4 d h)+3 c^2 d g^2\right )-b c \left (3 a^2 h^2 (f g-e h)+a c g \left (-9 d h^2+3 e g h+f g^2\right )+c^2 d g^3\right )-2 a c \left (a^2 f h^3-a c h \left (d h^2-3 e g h+3 f g^2\right )-c^2 g^2 (e g-3 d h)\right )-b^3 h^2 (a e h+3 c d g)+b^4 d h^3\right )}{\left (b^2-4 a c\right ) \sqrt{a+b x+c x^2} \left (a h^2-b g h+c g^2\right )^3}+\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{-2 a h+x (2 c g-b h)+b g}{2 \sqrt{a+b x+c x^2} \sqrt{a h^2-b g h+c g^2}}\right ) \left (h^2 \left (8 a^2 f h^2+4 a b h (2 f g-3 e h)+b^2 \left (-\left (3 h (e g-5 d h)+f g^2\right )\right )\right )+4 c h \left (-a h \left (3 d h^2-9 e g h+11 f g^2\right )+3 b g h (e g-4 d h)+2 b f g^3\right )+8 c^2 g^2 \left (6 d h^2-3 e g h+f g^2\right )\right )}{8 \left (a h^2-b g h+c g^2\right )^{7/2}}-\frac{h \sqrt{a+b x+c x^2} \left (f g^2-h (e g-d h)\right )}{2 (g+h x)^2 \left (a h^2-b g h+c g^2\right )^2}-\frac{h \sqrt{a+b x+c x^2} \left (-4 a h^2 (2 f g-e h)+b h \left (h (3 e g-7 d h)+f g^2\right )-2 c g h (5 e g-7 d h)+6 c f g^3\right )}{4 (g+h x) \left (a h^2-b g h+c g^2\right )^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)),x]

[Out]

(2*(b^4*d*h^3 - b^3*h^2*(3*c*d*g + a*e*h) + b^2*h*(3*c^2*d*g^2 + a^2*f*h^2 + a*c*h*(3*e*g - 4*d*h)) - b*c*(c^2
*d*g^3 + 3*a^2*h^2*(f*g - e*h) + a*c*g*(f*g^2 + 3*e*g*h - 9*d*h^2)) - 2*a*c*(a^2*f*h^3 - c^2*g^2*(e*g - 3*d*h)
- a*c*h*(3*f*g^2 - 3*e*g*h + d*h^2)) - c*(2*c^3*d*g^3 - b*(b^2*d - a*b*e + a^2*f)*h^3 - c^2*g*(2*a*f*g^2 - 6*
a*h*(e*g - d*h) + b*g*(e*g + 3*d*h)) + c*(2*a^2*h^2*(3*f*g - e*h) + b^2*(f*g^3 + 3*d*g*h^2) - 3*a*b*h*(f*g^2 +
h*(e*g - d*h))))*x))/((b^2 - 4*a*c)*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^3*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (h*(f*g^2 - h*(e*g - d
*h))*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)^2*(g + h*x)^2) - (h*(6*c*f*g^3 - 2*c*g*h*(5*e*g - 7*d*h
) - 4*a*h^2*(2*f*g - e*h) + b*h*(f*g^2 + h*(3*e*g - 7*d*h)))*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(4*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)
^3*(g + h*x)) + ((8*c^2*g^2*(f*g^2 - 3*e*g*h + 6*d*h^2) + 4*c*h*(2*b*f*g^3 + 3*b*g*h*(e*g - 4*d*h) - a*h*(11*f
*g^2 - 9*e*g*h + 3*d*h^2)) + h^2*(8*a^2*f*h^2 + 4*a*b*h*(2*f*g - 3*e*h) - b^2*(f*g^2 + 3*h*(e*g - 5*d*h))))*Ar
cTanh[(b*g - 2*a*h + (2*c*g - b*h)*x)/(2*Sqrt[c*g^2 - b*g*h + a*h^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2])])/(8*(c*g^2 - b*g*
h + a*h^2)^(7/2))

Rule 1646

Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_.)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = Polynomi
alQuotient[(d + e*x)^m*Pq, a + b*x + c*x^2, x], f = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x)^m*Pq, a + b*x + c*x^2,
x], x, 0], g = Coeff[PolynomialRemainder[(d + e*x)^m*Pq, a + b*x + c*x^2, x], x, 1]}, Simp[((b*f - 2*a*g + (2
*c*f - b*g)*x)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), x] + Dist[1/((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)), Int[(d
+ e*x)^m*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1)*ExpandToSum[((p + 1)*(b^2 - 4*a*c)*Q)/(d + e*x)^m - ((2*p + 3)*(2*c*f - b*
g))/(d + e*x)^m, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2
- b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] && ILtQ[m, 0]

Rule 1650

Int[(Pq_)*((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> With[{Q = Polynomia
lQuotient[Pq, d + e*x, x], R = PolynomialRemainder[Pq, d + e*x, x]}, Simp[(e*R*(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*
x^2)^(p + 1))/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), Int[(d + e*x)^
(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p*ExpandToSum[(m + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)*Q + c*d*R*(m + 1) - b*e*R*(m + p + 2)
- c*e*R*(m + 2*p + 3)*x, x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, p}, x] && PolyQ[Pq, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] &&
NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && LtQ[m, -1]

Rule 806

Int[((d_.) + (e_.)*(x_))^(m_)*((f_.) + (g_.)*(x_))*((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> -Si
mp[((e*f - d*g)*(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^(p + 1))/(2*(p + 1)*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), x] - Dist[(b
*(e*f + d*g) - 2*(c*d*f + a*e*g))/(2*(c*d^2 - b*d*e + a*e^2)), Int[(d + e*x)^(m + 1)*(a + b*x + c*x^2)^p, x],
x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, g, m, p}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[c*d^2 - b*d*e + a*e^2, 0] && EqQ[Sim
plify[m + 2*p + 3], 0]

Rule 724

Int[1/(((d_.) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> Dist[-2, Subst[Int[1/(4*c*d
^2 - 4*b*d*e + 4*a*e^2 - x^2), x], x, (2*a*e - b*d - (2*c*d - b*e)*x)/Sqrt[a + b*x + c*x^2]], x] /; FreeQ[{a,
b, c, d, e}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0] && NeQ[2*c*d - b*e, 0]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{d+e x+f x^2}{(g+h x)^3 \left (a+b x+c x^2\right )^{3/2}} \, dx &=\frac{2 \left (b^4 d h^3-b^3 h^2 (3 c d g+a e h)+b^2 h \left (3 c^2 d g^2+a^2 f h^2+a c h (3 e g-4 d h)\right )-b c \left (c^2 d g^3+3 a^2 h^2 (f g-e h)+a c g \left (f g^2+3 e g h-9 d h^2\right )\right )-2 a c \left (a^2 f h^3-c^2 g^2 (e g-3 d h)-a c h \left (3 f g^2-3 e g h+d h^2\right )\right )-c \left (2 c^3 d g^3-b \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right ) h^3-c^2 g \left (2 a f g^2-6 a h (e g-d h)+b g (e g+3 d h)\right )+c \left (2 a^2 h^2 (3 f g-e h)+b^2 \left (f g^3+3 d g h^2\right )-3 a b h \left (f g^2+h (e g-d h)\right )\right )\right ) x\right )}{\left (b^2-4 a c\right ) \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3 \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{2 \int \frac{-\frac{\left (b^2-4 a c\right ) \left (c^2 g^4 \left (f g^2-3 e g h+6 d h^2\right )-c g^2 h^2 \left (3 a f g^2-b g (3 e g-8 d h)-a h (e g+3 d h)\right )+h^3 \left (a^2 d h^3-b^2 g^2 (e g-3 d h)+a b g \left (f g^2-3 d h^2\right )\right )\right )}{2 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3}+\frac{\left (b^2-4 a c\right ) h^2 \left (c^2 g^3 (3 e g-8 d h)-c g^2 \left (3 b f g^2+b h (e g-9 d h)-2 a h (4 f g-3 e h)\right )-h \left (a^2 e h^3-b^2 \left (f g^3-3 d g h^2\right )+a b h \left (3 f g^2-h (3 e g+d h)\right )\right )\right ) x}{2 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3}-\frac{\left (b^2-4 a c\right ) h^3 \left (\left (b^2 d-a b e+a^2 f\right ) h^3-c^2 g^2 (e g-3 d h)+b c \left (f g^3-3 d g h^2\right )-a c h \left (3 f g^2-h (3 e g-d h)\right )\right ) x^2}{2 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3}}{(g+h x)^3 \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{b^2-4 a c}\\ &=\frac{2 \left (b^4 d h^3-b^3 h^2 (3 c d g+a e h)+b^2 h \left (3 c^2 d g^2+a^2 f h^2+a c h (3 e g-4 d h)\right )-b c \left (c^2 d g^3+3 a^2 h^2 (f g-e h)+a c g \left (f g^2+3 e g h-9 d h^2\right )\right )-2 a c \left (a^2 f h^3-c^2 g^2 (e g-3 d h)-a c h \left (3 f g^2-3 e g h+d h^2\right )\right )-c \left (2 c^3 d g^3-b \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right ) h^3-c^2 g \left (2 a f g^2-6 a h (e g-d h)+b g (e g+3 d h)\right )+c \left (2 a^2 h^2 (3 f g-e h)+b^2 \left (f g^3+3 d g h^2\right )-3 a b h \left (f g^2+h (e g-d h)\right )\right )\right ) x\right )}{\left (b^2-4 a c\right ) \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3 \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{h \left (f g^2-h (e g-d h)\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}{2 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^2 (g+h x)^2}+\frac{\int \frac{\frac{\left (b^2-4 a c\right ) \left (4 c^2 g^3 \left (f g^2-3 e g h+6 d h^2\right )-h^2 \left (4 a^2 h^2 (f g-e h)+b^2 g \left (f g^2+3 e g h-11 d h^2\right )-a b h \left (9 f g^2-5 e g h-7 d h^2\right )\right )+c g h \left (b g \left (f g^2+11 e g h-31 d h^2\right )-8 a h \left (2 f g^2-e g h-d h^2\right )\right )\right )}{4 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^2}+\frac{\left (b^2-4 a c\right ) h \left (2 \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right ) h^4-c^2 \left (f g^4+g^2 h (e g-5 d h)\right )+c h \left (b g \left (3 f g^2-e g h-5 d h^2\right )-a h \left (7 f g^2-7 e g h+3 d h^2\right )\right )\right ) x}{2 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^2}}{(g+h x)^2 \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{\left (b^2-4 a c\right ) \left (c g^2-b g h+a h^2\right )}\\ &=\frac{2 \left (b^4 d h^3-b^3 h^2 (3 c d g+a e h)+b^2 h \left (3 c^2 d g^2+a^2 f h^2+a c h (3 e g-4 d h)\right )-b c \left (c^2 d g^3+3 a^2 h^2 (f g-e h)+a c g \left (f g^2+3 e g h-9 d h^2\right )\right )-2 a c \left (a^2 f h^3-c^2 g^2 (e g-3 d h)-a c h \left (3 f g^2-3 e g h+d h^2\right )\right )-c \left (2 c^3 d g^3-b \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right ) h^3-c^2 g \left (2 a f g^2-6 a h (e g-d h)+b g (e g+3 d h)\right )+c \left (2 a^2 h^2 (3 f g-e h)+b^2 \left (f g^3+3 d g h^2\right )-3 a b h \left (f g^2+h (e g-d h)\right )\right )\right ) x\right )}{\left (b^2-4 a c\right ) \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3 \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{h \left (f g^2-h (e g-d h)\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}{2 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^2 (g+h x)^2}-\frac{h \left (6 c f g^3-2 c g h (5 e g-7 d h)-4 a h^2 (2 f g-e h)+b h \left (f g^2+h (3 e g-7 d h)\right )\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}{4 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3 (g+h x)}+\frac{\left (8 c^2 g^2 \left (f g^2-3 e g h+6 d h^2\right )+4 c h \left (2 b f g^3+3 b g h (e g-4 d h)-a h \left (11 f g^2-9 e g h+3 d h^2\right )\right )+h^2 \left (8 a^2 f h^2+4 a b h (2 f g-3 e h)-b^2 \left (f g^2+3 h (e g-5 d h)\right )\right )\right ) \int \frac{1}{(g+h x) \sqrt{a+b x+c x^2}} \, dx}{8 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3}\\ &=\frac{2 \left (b^4 d h^3-b^3 h^2 (3 c d g+a e h)+b^2 h \left (3 c^2 d g^2+a^2 f h^2+a c h (3 e g-4 d h)\right )-b c \left (c^2 d g^3+3 a^2 h^2 (f g-e h)+a c g \left (f g^2+3 e g h-9 d h^2\right )\right )-2 a c \left (a^2 f h^3-c^2 g^2 (e g-3 d h)-a c h \left (3 f g^2-3 e g h+d h^2\right )\right )-c \left (2 c^3 d g^3-b \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right ) h^3-c^2 g \left (2 a f g^2-6 a h (e g-d h)+b g (e g+3 d h)\right )+c \left (2 a^2 h^2 (3 f g-e h)+b^2 \left (f g^3+3 d g h^2\right )-3 a b h \left (f g^2+h (e g-d h)\right )\right )\right ) x\right )}{\left (b^2-4 a c\right ) \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3 \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{h \left (f g^2-h (e g-d h)\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}{2 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^2 (g+h x)^2}-\frac{h \left (6 c f g^3-2 c g h (5 e g-7 d h)-4 a h^2 (2 f g-e h)+b h \left (f g^2+h (3 e g-7 d h)\right )\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}{4 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3 (g+h x)}-\frac{\left (8 c^2 g^2 \left (f g^2-3 e g h+6 d h^2\right )+4 c h \left (2 b f g^3+3 b g h (e g-4 d h)-a h \left (11 f g^2-9 e g h+3 d h^2\right )\right )+h^2 \left (8 a^2 f h^2+4 a b h (2 f g-3 e h)-b^2 \left (f g^2+3 h (e g-5 d h)\right )\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{4 c g^2-4 b g h+4 a h^2-x^2} \, dx,x,\frac{-b g+2 a h-(2 c g-b h) x}{\sqrt{a+b x+c x^2}}\right )}{4 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3}\\ &=\frac{2 \left (b^4 d h^3-b^3 h^2 (3 c d g+a e h)+b^2 h \left (3 c^2 d g^2+a^2 f h^2+a c h (3 e g-4 d h)\right )-b c \left (c^2 d g^3+3 a^2 h^2 (f g-e h)+a c g \left (f g^2+3 e g h-9 d h^2\right )\right )-2 a c \left (a^2 f h^3-c^2 g^2 (e g-3 d h)-a c h \left (3 f g^2-3 e g h+d h^2\right )\right )-c \left (2 c^3 d g^3-b \left (b^2 d-a b e+a^2 f\right ) h^3-c^2 g \left (2 a f g^2-6 a h (e g-d h)+b g (e g+3 d h)\right )+c \left (2 a^2 h^2 (3 f g-e h)+b^2 \left (f g^3+3 d g h^2\right )-3 a b h \left (f g^2+h (e g-d h)\right )\right )\right ) x\right )}{\left (b^2-4 a c\right ) \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3 \sqrt{a+b x+c x^2}}-\frac{h \left (f g^2-h (e g-d h)\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}{2 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^2 (g+h x)^2}-\frac{h \left (6 c f g^3-2 c g h (5 e g-7 d h)-4 a h^2 (2 f g-e h)+b h \left (f g^2+h (3 e g-7 d h)\right )\right ) \sqrt{a+b x+c x^2}}{4 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^3 (g+h x)}+\frac{\left (8 c^2 g^2 \left (f g^2-3 e g h+6 d h^2\right )+4 c h \left (2 b f g^3+3 b g h (e g-4 d h)-a h \left (11 f g^2-9 e g h+3 d h^2\right )\right )+h^2 \left (8 a^2 f h^2+4 a b h (2 f g-3 e h)-b^2 \left (f g^2+3 h (e g-5 d h)\right )\right )\right ) \tanh ^{-1}\left (\frac{b g-2 a h+(2 c g-b h) x}{2 \sqrt{c g^2-b g h+a h^2} \sqrt{a+b x+c x^2}}\right )}{8 \left (c g^2-b g h+a h^2\right )^{7/2}}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.21183, size = 2046, normalized size = 2.87 \[ \text{Result too large to show} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(d + e*x + f*x^2)/((g + h*x)^3*(a + b*x + c*x^2)^(3/2)),x]

[Out]

-(f*(a + b*x + c*x^2))/(3*c*h*(g + h*x)^2*(a + x*(b + c*x))^(3/2)) + ((a + b*x + c*x^2)^(3/2)*((-2*(((b*c*g -
b^2*h + 2*a*c*h)*(-(b*f*g) + 6*c*d*h - 4*a*f*h))/2 - (a*(2*c*g - b*h)*(-2*c*f*g + 6*c*e*h - 5*b*f*h))/2 + c*((
(2*c*g - b*h)*(-(b*f*g) + 6*c*d*h - 4*a*f*h))/2 - ((b*g - 2*a*h)*(-2*c*f*g + 6*c*e*h - 5*b*f*h))/2)*x))/((b^2
- 4*a*c)*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x)^2*Sqrt[a + b*x + c*x^2]) - (2*(-((-6*c*g*h^2*(2*c^2*d*g + b*f*(b*g
- a*h) - c*(b*e*g + 2*a*f*g + b*d*h - 2*a*e*h)) + (3*c*h^2*(4*b*h*(c*d*g + a*f*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*
g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*h*(e*g - d*h))))/2)*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/(2*(c*g^2 - b*g*h + a*
h^2)*(g + h*x)^2) - (-(((-(c*g*(-6*c*g*h^2*(2*c^2*d*g + b*f*(b*g - a*h) - c*(b*e*g + 2*a*f*g + b*d*h - 2*a*e*h
)) + (3*c*h^2*(4*b*h*(c*d*g + a*f*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*
h*(e*g - d*h))))/2)) + h*((b*(6*c*g*h^2*(2*c^2*d*g + b*f*(b*g - a*h) - c*(b*e*g + 2*a*f*g + b*d*h - 2*a*e*h))
- (3*c*h^2*(4*b*h*(c*d*g + a*f*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*h*(
e*g - d*h))))/2))/2 - 2*(6*a*c*h^3*(2*c^2*d*g + b*f*(b*g - a*h) - c*(b*e*g + 2*a*f*g + b*d*h - 2*a*e*h)) + (3*
c^2*g*h*(4*b*h*(c*d*g + a*f*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*h*(e*g
- d*h))))/2 - (3*b*c*h^2*(4*b*h*(c*d*g + a*f*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*
f*h^2 - 3*c*h*(e*g - d*h))))/2)))*Sqrt[a + b*x + c*x^2])/((c*g^2 - b*g*h + a*h^2)*(g + h*x))) + (2*(-2*(a*c*h*
(-6*c*g*h^2*(2*c^2*d*g + b*f*(b*g - a*h) - c*(b*e*g + 2*a*f*g + b*d*h - 2*a*e*h)) + (3*c*h^2*(4*b*h*(c*d*g + a
*f*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*h*(e*g - d*h))))/2) + c*g*((b*(
6*c*g*h^2*(2*c^2*d*g + b*f*(b*g - a*h) - c*(b*e*g + 2*a*f*g + b*d*h - 2*a*e*h)) - (3*c*h^2*(4*b*h*(c*d*g + a*f
*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*h*(e*g - d*h))))/2))/2 - 2*(6*a*c
*h^3*(2*c^2*d*g + b*f*(b*g - a*h) - c*(b*e*g + 2*a*f*g + b*d*h - 2*a*e*h)) + (3*c^2*g*h*(4*b*h*(c*d*g + a*f*g
+ a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*h*(e*g - d*h))))/2 - (3*b*c*h^2*(4*b
*h*(c*d*g + a*f*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*h*(e*g - d*h))))/2
))) + b*(c*g*(-6*c*g*h^2*(2*c^2*d*g + b*f*(b*g - a*h) - c*(b*e*g + 2*a*f*g + b*d*h - 2*a*e*h)) + (3*c*h^2*(4*b
*h*(c*d*g + a*f*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*h*(e*g - d*h))))/2
) + h*((b*(6*c*g*h^2*(2*c^2*d*g + b*f*(b*g - a*h) - c*(b*e*g + 2*a*f*g + b*d*h - 2*a*e*h)) - (3*c*h^2*(4*b*h*(
c*d*g + a*f*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*h*(e*g - d*h))))/2))/2
- 2*(6*a*c*h^3*(2*c^2*d*g + b*f*(b*g - a*h) - c*(b*e*g + 2*a*f*g + b*d*h - 2*a*e*h)) + (3*c^2*g*h*(4*b*h*(c*d
*g + a*f*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*h*(e*g - d*h))))/2 - (3*b
*c*h^2*(4*b*h*(c*d*g + a*f*g + a*e*h) - b^2*(f*g^2 - h*(e*g - 5*d*h)) + 4*a*(c*f*g^2 - 2*a*f*h^2 - 3*c*h*(e*g
- d*h))))/2))))*ArcTanh[(-(b*g) + 2*a*h - (2*c*g - b*h)*x)/(2*Sqrt[c*g^2 - b*g*h + a*h^2]*Sqrt[a + b*x + c*x^2
])])/(Sqrt[c*g^2 - b*g*h + a*h^2]*(4*c*g^2 - 4*b*g*h + 4*a*h^2)))/(2*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2))))/((b^2 - 4*a*c)
*(c*g^2 - b*g*h + a*h^2))))/(3*c*h*(a + x*(b + c*x))^(3/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.327, size = 9126, normalized size = 12.8 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((f*x^2+e*x+d)/(h*x+g)^3/(c*x^2+b*x+a)^(3/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x^2+e*x+d)/(h*x+g)^3/(c*x^2+b*x+a)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x^2+e*x+d)/(h*x+g)^3/(c*x^2+b*x+a)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x**2+e*x+d)/(h*x+g)**3/(c*x**2+b*x+a)**(3/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.78442, size = 7610, normalized size = 10.67 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((f*x^2+e*x+d)/(h*x+g)^3/(c*x^2+b*x+a)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

-2*((2*c^7*d*g^9 + b^2*c^5*f*g^9 - 2*a*c^6*f*g^9 - 9*b*c^6*d*g^8*h - 3*b^3*c^4*f*g^8*h + 3*a*b*c^5*f*g^8*h + 1
8*b^2*c^5*d*g^7*h^2 + 3*b^4*c^3*f*g^7*h^2 + 6*a*b^2*c^4*f*g^7*h^2 - 21*b^3*c^4*d*g^6*h^3 - b^5*c^2*f*g^6*h^3 -
13*a*b^3*c^3*f*g^6*h^3 - 16*a^2*b*c^4*f*g^6*h^3 + 15*b^4*c^3*d*g^5*h^4 + 6*a*b^2*c^4*d*g^5*h^4 - 12*a^2*c^5*d
*g^5*h^4 + 6*a*b^4*c^2*f*g^5*h^4 + 36*a^2*b^2*c^3*f*g^5*h^4 + 12*a^3*c^4*f*g^5*h^4 - 6*b^5*c^2*d*g^4*h^5 - 15*
a*b^3*c^3*d*g^4*h^5 + 30*a^2*b*c^4*d*g^4*h^5 - 21*a^2*b^3*c^2*f*g^4*h^5 - 42*a^3*b*c^3*f*g^4*h^5 + b^6*c*d*g^3
*h^6 + 12*a*b^4*c^2*d*g^3*h^6 - 18*a^2*b^2*c^3*d*g^3*h^6 - 16*a^3*c^4*d*g^3*h^6 + a^2*b^4*c*f*g^3*h^6 + 34*a^3
*b^2*c^2*f*g^3*h^6 + 16*a^4*c^3*f*g^3*h^6 - 3*a*b^5*c*d*g^2*h^7 - 3*a^2*b^3*c^2*d*g^2*h^7 + 24*a^3*b*c^3*d*g^2
*h^7 - 3*a^3*b^3*c*f*g^2*h^7 - 24*a^4*b*c^2*f*g^2*h^7 + 3*a^2*b^4*c*d*g*h^8 - 6*a^3*b^2*c^2*d*g*h^8 - 6*a^4*c^
3*d*g*h^8 + 3*a^4*b^2*c*f*g*h^8 + 6*a^5*c^2*f*g*h^8 - a^3*b^3*c*d*h^9 + 3*a^4*b*c^2*d*h^9 - a^5*b*c*f*h^9 - b*
c^6*g^9*e + 3*b^2*c^5*g^8*h*e + 6*a*c^6*g^8*h*e - 3*b^3*c^4*g^7*h^2*e - 24*a*b*c^5*g^7*h^2*e + b^4*c^3*g^6*h^3
*e + 34*a*b^2*c^4*g^6*h^3*e + 16*a^2*c^5*g^6*h^3*e - 21*a*b^3*c^3*g^5*h^4*e - 42*a^2*b*c^4*g^5*h^4*e + 6*a*b^4
*c^2*g^4*h^5*e + 36*a^2*b^2*c^3*g^4*h^5*e + 12*a^3*c^4*g^4*h^5*e - a*b^5*c*g^3*h^6*e - 13*a^2*b^3*c^2*g^3*h^6*
e - 16*a^3*b*c^3*g^3*h^6*e + 3*a^2*b^4*c*g^2*h^7*e + 6*a^3*b^2*c^2*g^2*h^7*e - 3*a^3*b^3*c*g*h^8*e + 3*a^4*b*c
^2*g*h^8*e + a^4*b^2*c*h^9*e - 2*a^5*c^2*h^9*e)*x/(b^2*c^6*g^12 - 4*a*c^7*g^12 - 6*b^3*c^5*g^11*h + 24*a*b*c^6
*g^11*h + 15*b^4*c^4*g^10*h^2 - 54*a*b^2*c^5*g^10*h^2 - 24*a^2*c^6*g^10*h^2 - 20*b^5*c^3*g^9*h^3 + 50*a*b^3*c^
4*g^9*h^3 + 120*a^2*b*c^5*g^9*h^3 + 15*b^6*c^2*g^8*h^4 - 225*a^2*b^2*c^4*g^8*h^4 - 60*a^3*c^5*g^8*h^4 - 6*b^7*
c*g^7*h^5 - 36*a*b^5*c^2*g^7*h^5 + 180*a^2*b^3*c^3*g^7*h^5 + 240*a^3*b*c^4*g^7*h^5 + b^8*g^6*h^6 + 26*a*b^6*c*
g^6*h^6 - 30*a^2*b^4*c^2*g^6*h^6 - 340*a^3*b^2*c^3*g^6*h^6 - 80*a^4*c^4*g^6*h^6 - 6*a*b^7*g^5*h^7 - 36*a^2*b^5
*c*g^5*h^7 + 180*a^3*b^3*c^2*g^5*h^7 + 240*a^4*b*c^3*g^5*h^7 + 15*a^2*b^6*g^4*h^8 - 225*a^4*b^2*c^2*g^4*h^8 -
60*a^5*c^3*g^4*h^8 - 20*a^3*b^5*g^3*h^9 + 50*a^4*b^3*c*g^3*h^9 + 120*a^5*b*c^2*g^3*h^9 + 15*a^4*b^4*g^2*h^10 -
54*a^5*b^2*c*g^2*h^10 - 24*a^6*c^2*g^2*h^10 - 6*a^5*b^3*g*h^11 + 24*a^6*b*c*g*h^11 + a^6*b^2*h^12 - 4*a^7*c*h
^12) + (b*c^6*d*g^9 + a*b*c^5*f*g^9 - 6*b^2*c^5*d*g^8*h + 6*a*c^6*d*g^8*h - 3*a*b^2*c^4*f*g^8*h - 6*a^2*c^5*f*
g^8*h + 15*b^3*c^4*d*g^7*h^2 - 24*a*b*c^5*d*g^7*h^2 + 3*a*b^3*c^3*f*g^7*h^2 + 24*a^2*b*c^4*f*g^7*h^2 - 20*b^4*
c^3*d*g^6*h^3 + 34*a*b^2*c^4*d*g^6*h^3 + 16*a^2*c^5*d*g^6*h^3 - a*b^4*c^2*f*g^6*h^3 - 34*a^2*b^2*c^3*f*g^6*h^3
- 16*a^3*c^4*f*g^6*h^3 + 15*b^5*c^2*d*g^5*h^4 - 15*a*b^3*c^3*d*g^5*h^4 - 54*a^2*b*c^4*d*g^5*h^4 + 21*a^2*b^3*
c^2*f*g^5*h^4 + 42*a^3*b*c^3*f*g^5*h^4 - 6*b^6*c*d*g^4*h^5 - 9*a*b^4*c^2*d*g^4*h^5 + 66*a^2*b^2*c^3*d*g^4*h^5
+ 12*a^3*c^4*d*g^4*h^5 - 6*a^2*b^4*c*f*g^4*h^5 - 36*a^3*b^2*c^2*f*g^4*h^5 - 12*a^4*c^3*f*g^4*h^5 + b^7*d*g^3*h
^6 + 11*a*b^5*c*d*g^3*h^6 - 31*a^2*b^3*c^2*d*g^3*h^6 - 32*a^3*b*c^3*d*g^3*h^6 + a^2*b^5*f*g^3*h^6 + 13*a^3*b^3
*c*f*g^3*h^6 + 16*a^4*b*c^2*f*g^3*h^6 - 3*a*b^6*d*g^2*h^7 + 30*a^3*b^2*c^2*d*g^2*h^7 - 3*a^3*b^4*f*g^2*h^7 - 6
*a^4*b^2*c*f*g^2*h^7 + 3*a^2*b^5*d*g*h^8 - 9*a^3*b^3*c*d*g*h^8 - 3*a^4*b*c^2*d*g*h^8 + 3*a^4*b^3*f*g*h^8 - 3*a
^5*b*c*f*g*h^8 - a^3*b^4*d*h^9 + 4*a^4*b^2*c*d*h^9 - 2*a^5*c^2*d*h^9 - a^5*b^2*f*h^9 + 2*a^6*c*f*h^9 - 2*a*c^6
*g^9*e + 9*a*b*c^5*g^8*h*e - 18*a*b^2*c^4*g^7*h^2*e + 21*a*b^3*c^3*g^6*h^3*e - 15*a*b^4*c^2*g^5*h^4*e - 6*a^2*
b^2*c^3*g^5*h^4*e + 12*a^3*c^4*g^5*h^4*e + 6*a*b^5*c*g^4*h^5*e + 15*a^2*b^3*c^2*g^4*h^5*e - 30*a^3*b*c^3*g^4*h
^5*e - a*b^6*g^3*h^6*e - 12*a^2*b^4*c*g^3*h^6*e + 18*a^3*b^2*c^2*g^3*h^6*e + 16*a^4*c^3*g^3*h^6*e + 3*a^2*b^5*
g^2*h^7*e + 3*a^3*b^3*c*g^2*h^7*e - 24*a^4*b*c^2*g^2*h^7*e - 3*a^3*b^4*g*h^8*e + 6*a^4*b^2*c*g*h^8*e + 6*a^5*c
^2*g*h^8*e + a^4*b^3*h^9*e - 3*a^5*b*c*h^9*e)/(b^2*c^6*g^12 - 4*a*c^7*g^12 - 6*b^3*c^5*g^11*h + 24*a*b*c^6*g^1
1*h + 15*b^4*c^4*g^10*h^2 - 54*a*b^2*c^5*g^10*h^2 - 24*a^2*c^6*g^10*h^2 - 20*b^5*c^3*g^9*h^3 + 50*a*b^3*c^4*g^
9*h^3 + 120*a^2*b*c^5*g^9*h^3 + 15*b^6*c^2*g^8*h^4 - 225*a^2*b^2*c^4*g^8*h^4 - 60*a^3*c^5*g^8*h^4 - 6*b^7*c*g^
7*h^5 - 36*a*b^5*c^2*g^7*h^5 + 180*a^2*b^3*c^3*g^7*h^5 + 240*a^3*b*c^4*g^7*h^5 + b^8*g^6*h^6 + 26*a*b^6*c*g^6*
h^6 - 30*a^2*b^4*c^2*g^6*h^6 - 340*a^3*b^2*c^3*g^6*h^6 - 80*a^4*c^4*g^6*h^6 - 6*a*b^7*g^5*h^7 - 36*a^2*b^5*c*g
^5*h^7 + 180*a^3*b^3*c^2*g^5*h^7 + 240*a^4*b*c^3*g^5*h^7 + 15*a^2*b^6*g^4*h^8 - 225*a^4*b^2*c^2*g^4*h^8 - 60*a
^5*c^3*g^4*h^8 - 20*a^3*b^5*g^3*h^9 + 50*a^4*b^3*c*g^3*h^9 + 120*a^5*b*c^2*g^3*h^9 + 15*a^4*b^4*g^2*h^10 - 54*
a^5*b^2*c*g^2*h^10 - 24*a^6*c^2*g^2*h^10 - 6*a^5*b^3*g*h^11 + 24*a^6*b*c*g*h^11 + a^6*b^2*h^12 - 4*a^7*c*h^12)
)/sqrt(c*x^2 + b*x + a) + 1/4*(8*c^2*f*g^4 + 8*b*c*f*g^3*h + 48*c^2*d*g^2*h^2 - b^2*f*g^2*h^2 - 44*a*c*f*g^2*h
^2 - 48*b*c*d*g*h^3 + 8*a*b*f*g*h^3 + 15*b^2*d*h^4 - 12*a*c*d*h^4 + 8*a^2*f*h^4 - 24*c^2*g^3*h*e + 12*b*c*g^2*
h^2*e - 3*b^2*g*h^3*e + 36*a*c*g*h^3*e - 12*a*b*h^4*e)*arctan(-((sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*h + sqrt(c
)*g)/sqrt(-c*g^2 + b*g*h - a*h^2))/((c^3*g^6 - 3*b*c^2*g^5*h + 3*b^2*c*g^4*h^2 + 3*a*c^2*g^4*h^2 - b^3*g^3*h^3
- 6*a*b*c*g^3*h^3 + 3*a*b^2*g^2*h^4 + 3*a^2*c*g^2*h^4 - 3*a^2*b*g*h^5 + a^3*h^6)*sqrt(-c*g^2 + b*g*h - a*h^2)
) - 1/4*(8*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*c^2*f*g^4*h + 24*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*c^2*d*
g^2*h^3 - (sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*b^2*f*g^2*h^3 - 20*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*a*c*f
*g^2*h^3 - 24*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*b*c*d*g*h^4 + 8*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*a*b*
f*g*h^4 + 7*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*b^2*d*h^5 - 4*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*a*c*d*h^
5 - 16*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*c^2*g^3*h^2*e + 12*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*b*c*g^2*
h^3*e - 3*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*b^2*g*h^4*e + 12*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*a*c*g*h
^4*e - 4*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^3*a*b*h^5*e + 24*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*c^(5/2)*f*
g^5 - 8*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*b*c^(3/2)*f*g^4*h + 56*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*c^(
5/2)*d*g^3*h^2 + 5*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*b^2*sqrt(c)*f*g^3*h^2 - 44*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 +
b*x + a))^2*a*c^(3/2)*f*g^3*h^2 - 48*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*b*c^(3/2)*d*g^2*h^3 + 13*(sqrt(c)*x
- sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*b^2*sqrt(c)*d*g*h^4 - 28*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*a*c^(3/2)*d*g*h^4 +
16*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*a^2*sqrt(c)*f*g*h^4 + 8*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*a*b*sq
rt(c)*d*h^5 - 40*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*c^(5/2)*g^4*h*e + 28*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a)
)^2*b*c^(3/2)*g^3*h^2*e - 9*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*b^2*sqrt(c)*g^2*h^3*e + 36*(sqrt(c)*x - sqrt
(c*x^2 + b*x + a))^2*a*c^(3/2)*g^2*h^3*e - 4*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*a*b*sqrt(c)*g*h^4*e - 8*(sq
rt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*a^2*sqrt(c)*h^5*e + 24*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*b*c^2*f*g^5 - 4*
(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*b^2*c*f*g^4*h - 40*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a*c^2*f*g^4*h + 56*
(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*b*c^2*d*g^3*h^2 + (sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*b^3*f*g^3*h^2 - 28*(
sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a*b*c*f*g^3*h^2 - 44*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*b^2*c*d*g^2*h^3 -
88*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a*c^2*d*g^2*h^3 + 7*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a*b^2*f*g^2*h^3
+ 44*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a^2*c*f*g^2*h^3 + 9*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*b^3*d*g*h^4
+ 60*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a*b*c*d*g*h^4 - 8*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a^2*b*f*g*h^4 -
9*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a*b^2*d*h^5 - 4*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a^2*c*d*h^5 - 40*(s
qrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*b*c^2*g^4*h*e + 24*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*b^2*c*g^3*h^2*e + 64*
(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a*c^2*g^3*h^2*e - 5*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*b^3*g^2*h^3*e - 16
*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a*b*c*g^2*h^3*e + (sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a*b^2*g*h^4*e - 20*
(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a^2*c*g*h^4*e + 4*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*a^2*b*h^5*e + 6*b^2*
c^(3/2)*f*g^5 + b^3*sqrt(c)*f*g^4*h - 20*a*b*c^(3/2)*f*g^4*h + 14*b^2*c^(3/2)*d*g^3*h^2 - 9*a*b^2*sqrt(c)*f*g^
3*h^2 + 12*a^2*c^(3/2)*f*g^3*h^2 - 7*b^3*sqrt(c)*d*g^2*h^3 - 44*a*b*c^(3/2)*d*g^2*h^3 + 24*a^2*b*sqrt(c)*f*g^2
*h^3 + 23*a*b^2*sqrt(c)*d*g*h^4 + 28*a^2*c^(3/2)*d*g*h^4 - 16*a^3*sqrt(c)*f*g*h^4 - 16*a^2*b*sqrt(c)*d*h^5 - 1
0*b^2*c^(3/2)*g^4*h*e + 3*b^3*sqrt(c)*g^3*h^2*e + 32*a*b*c^(3/2)*g^3*h^2*e - 7*a*b^2*sqrt(c)*g^2*h^3*e - 20*a^
2*c^(3/2)*g^2*h^3*e - 4*a^2*b*sqrt(c)*g*h^4*e + 8*a^3*sqrt(c)*h^5*e)/((c^3*g^6 - 3*b*c^2*g^5*h + 3*b^2*c*g^4*h
^2 + 3*a*c^2*g^4*h^2 - b^3*g^3*h^3 - 6*a*b*c*g^3*h^3 + 3*a*b^2*g^2*h^4 + 3*a^2*c*g^2*h^4 - 3*a^2*b*g*h^5 + a^3
*h^6)*((sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))^2*h + 2*(sqrt(c)*x - sqrt(c*x^2 + b*x + a))*sqrt(c)*g + b*g - a*h)^
2)